rivée par l’élimination d’une constante donnée ; mais on peut parvenir de deux manières différentes à l’équation du second ordre déduite de la primitive et de ses deux premières dérivées par l’élimination de deux constantes données ; et ce double point de vue donne lieu à des conséquences importantes relatives à ce genre d’équations.
Au lieu d’éliminer à la fois les deux constantes par le moyen des trois équations dont il s’agit, on peut n’éliminer d’abord que l’une ou l’autre de ces constantes, à l’aide de l’équation primitive et de sa dérivée on aura ainsi deux équations différentes du premier ordre, dont l’une ne contiendra que l’une des deux constantes, et dont l’autre ne contiendra que l’autre constante. Maintenant, en combinant chacune de ces équations avec sa dérivée, on pourra aussi en éliminer la constante qui y était restée, et on aura deux équations du second ordre sans les deux constantes, lesquelles devront être équivalentes entre elles et avec l’équation qui résulte de l’élimination simultanée des deux constantes.
En effet, chacune de ces équations donnera la valeur de la fonctions seconde de la variable qu’on regarde comme fonction de l’autre, valeur qui sera exprimée par la fonction prime de la même variable et par les deux variables mêmes, sans les deux constantes qui entraient dans l’équation primitive ; et il est facile de se convaincre que cette valeur est unique et déterminée, de quelque manière qu’on y parvienne, puisque les fonctions dérivées d’une fonction donnée, soit explicite ou non, sont uniques et déterminées, et que les résultats de l’élimination sont aussi toujours déterminés.
On doit conclure de là qu’une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ordre, renfermant chacune une constante arbitraire de plus, et que ces équations seront par conséquent deux équations primitives de la même équation du second ordre, mais primitives du premier ordre, pour les distinguer de l’équation primitive absolue d’où celles-ci sont censées dérivées.
Enfin on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second le raisonnement que nous venons de faire sur celles de cet ordre,
