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et on en conclura de la même manière qu’une équation du troisième ordre peut être dérivée de trois équations du second ordre, et qu’alors elle peut avoir trois équations primitives, de cet ordre ; et ainsi de suite.

Nous allons éclaircir et confirmer cette théorie générale par quelques exemples.

Soit l’équation de premier degré

$y+ax+b=0\,;$

en regardant $y$ comme fonction de $x$ et en prenant les fonctions dérivées, on aura

$y'+a=0.$

En éliminant $a$ au moyen de ces deux équations, on obtiendra l’équation du premier ordre

$y-xy'+b=0,$

dont l’équation primitive sera

$y+ax+b=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Si la constante $b$ dépendait de la constante $a,$ par exemple si

$b=a^{2},$

alors en éliminant $a,$ c’est-à-dire en substituant $-y'$ pour $a,$ on aurait l’équation du premier ordre

$y-xy'+y'^{2}=0,$

et l’équation primitive de celle-ci serait

$y+ax+a^{2}=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Supposons

$b=c{\sqrt {1+a^{2}}}\,;$

on aura l’équation du premier ordre

$y-xy'+c{\sqrt {1+y'^{2}}}=0,$