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d’où l’on tire

$a={\frac {1}{y''}},$

et cette valeur, substituée dans la précédente, donnera

$x-{\frac {y'}{y''}}=0,\quad {\text{ou}}\quad xy''-y'=0,$

équation du second ordre dont l’équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0$

sera la primitive absolue, $a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires.

On parviendrait à la même équation en faisant disparaître $b$ de l’équation du premier ordre

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0$

trouvée plus-haut ; car, en prenant les fonctions dérivées, on aura

$y''{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}+{\frac {y'(x+yy')}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}}-yy'-y'^{2}-1=0\,;$

en éliminant $b$ au moyen de la précédente, il viendra

$\mathrm {\frac {y''(yy'+x)}{y'}} +y'^{2}-yy'-y'^{2}-1=0,$

savoir, comme on l’a vu plus haut,

${\frac {y''x}{y'}}-1=0,\quad {\text{ou}}\quad y''x-y'=0.$

On voit aussi que cette même équation du second ordre a deux équations primitives du premier ordre, savoir :

$x-ay'=0\quad {\text{et}}\quad y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0,$

où $a$ et $b$ sont les deux constantes arbitraires ; et ces deux-ci, par l’élimination de la fonction dérivée $y',$ donneront l’équation primitive