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absolue entre $x$ et $y,$

${\frac {x}{a}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-{\frac {yx}{a}}-x=0,$

savoir,

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y-a=0,$

et, en faisant disparaître le radical,

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0,$

qui est la même dont nous sommes parti.

En éliminant ainsi les constantes qu’on veut faire disparaître, on tombe souvent, comme on le voit, dans des équations où la plus haute fonction dérivée est élevée à des puissances ; et ce n’est que par la résolution qu’on peut avoir la valeur de cette fonction en fonction des variables et des fonctions dérivées d’un ordre moindre.

On peut cependant parvenir directement à une équation dérivée où la plus haute fonction dérivée ne se trouve qu’au premier degré ; pour cela, il n’y a qu’à préparer l’équation primitive de manière que la constante arbitraire qu’on veut faire disparaître s’en aille d’elle-même en prenant la fonction dérivée de chacun de ses termes ; ce qui arrive lorsque cette constante est dégagée des variables, et forme elle seule un des termes de l’équation ; car alors, la fonction dérivée de ce terme étant nulle, l’équation dérivée se trouvera naturellement délivrée de la constante, et la plus haute fonction dérivée y sera nécessairement à la première dimension ; car, comme on l’a vu dans la Leçon VI, en prenant la fonction dérivée d’une fonction de plusieurs variables, chaque variable ne peut donner que des termes multipliés par la fonction dérivée de la même variable.

Or il est évident que cette préparation ne demande que de résoudre l’équation primitive, en regardant la constante qu’on veut éliminer comme l’inconnue de l’équation. Ainsi l’on peut obtenir par ce moyen le même résultat qu’on aurait par la résolution de l’équation dérivée par rapport à la plus haute fonction dérivée.