ses dérivées d’un ordre quelconque, et revenir ensuite de celle-ci à une nouvelle équation primitive, pourvu que cette dernière opération y introduise le nombre requis de constantes arbitraires. Alors cette dernière équation renfermera la première et lui deviendra équivalente, en déterminant convenablement ses constantes arbitraires. C’est ainsi qu’on en a usé dans la Leçon précédente, pour la transformation des fonctions angulaires.
Comme nous avons vu qu’une équation du second ordre peut provenir de deux équations différentes du premier ordre, renfermant chacune une constante arbitraire qu’une équation du troisième ordre peut être dérivée de même de trois équations différentes du second, et ainsi de suite, il est naturel d’en conclure aussi réciproquement que toute équation du second ordre aura deux équations primitives du premier ordre, chacune avec une constante arbitraire ; que toute équation du troisième ordre aura trois équations primitives du second ordre, ayant chacune une constante arbitraire ; et ainsi de suite. Mais nous pouvons démontrer aussi cette proposition d’une manière directe, par une analyse semblable à celle que nous avons employée ci-dessus.
Considérons la formule générale du développementdes fonctions
Faisons et on aura
et deviendra c’est-à-dire égale à la valeur de ou lorsqu’on y fait valeur que nous avons désignée plus haut par Ainsi, par ces substitutions, on aura cette formule
Changeons maintenant dans la formule générale en et l’on aura de même
