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Dans l’analyse précédente, on voit que les constantes arbitraires sont toujours les valeurs de $y,y',y'',\ldots$ qui répondent à $x=0,$ au lieu qu’en envisageant, comme nous l’avons fait plus haut, les équations dérivées comme le résultat de l’élimination des constantes, ces constantes peuvent être quelconques ; mais il est toujours facile de les réduire les unes aux autres car, quelles que soient les constantes qui entrent dans l’expression de $y,$ si l’on déduit de cette expression celles de $y',y'',\ldots ,$ et qu’ensuite on fasse $x=0,$ ce qui changera les valeurs de $y,y',y'',\ldots$ en $y^{0},y{^{0}}{'},y{^{0}}{''},\ldots ,$ on pourra toujours, en prenant autant de ces valeurs qu’il y a de constantes arbitraires, déterminer celles-ci en $y^{0},y{^{0}}{'},y{^{0}}{''},\ldots ,$ et les substituer ensuite dans l’expression générale de $y.$

Or, quelle que puisse être la forme de cette expression ou de l’équation d’où elle dépend, à raison des différentes constantes qui y seront contenues, il est visible que, lorsque ces constantes seront réduites aux valeurs de $y^{0},y{^{0}}{'},y{^{0}}{''},\ldots ,$ cette forme deviendra nécessairement la même pour la même équation dérivée.

On peut donc conclure, en général, que, si l’on a une équation dérivée d’un ordre quelconque, et que l’on trouve, de quelque manière que ce soit, une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y aura d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation dérivée, cette équation sera l’équation primitive de la proposée, avec toute la généralité dont elle est susceptible ; de sorte qu’elle renfermera nécessairement toute autre équation qui pourrait aussi satisfaire à la même équation avec autant de constantes arbitraires.

On voit par là que les constantes arbitraires forment proprement la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées ; celles-ci sont, par leur nature, plus générales que les équations d’où elles dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu ; elles équivalent donc à toutes les équations primitives, et qui ne différeraient entre elles que par la valeur de $c$es constantes.

On pourra donc toujours passer d’une équation primitive à une de