moins exactes ; et il est visible, par la forme même de ces équations, qu’elles sont essentiellement différentes, et qu’il ne peut y en avoir qu’un nombre égal à celui de l’ordre de l’équation donnée.
On en conclura donc aussi que, si pour une équation du second ordre on trouve d’une manière quelconque deux équations différentes du premier ordre qui y satisfassent, et qui renferment chacune une constante arbitraire, on aura les deux équations primitives du premier ordre de la proposée ; et toute autre équation de cet ordre, qui y satisferait avec une constante arbitraire, sera nécessairement renfermée dans celle-ci.
Ces deux équations primitives étant connues, on pourra toujours en déduire l’équation primitive absolue, sans fonctions dérivées, en éliminant par leur moyen la fonction dérivée qu’elles contiendront, et qui est censée être la même dans les deux équations.
L’équation résultante, ne contenant plus de fonction dérivée, sera l’équation primitive absolue de la proposée du second ordre ; et, comme les deux constantes arbitraires, qui entraient dans les deux équations primitives du premier ordre, se trouveront dans cette équation, elle aura toute la généralité dont elle est susceptible.
Donc, ayant une équation du second ordre, on aura également son équation primitive absolue, soit qu’on trouve immédiatement une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme en même temps deux constantes arbitraires, soit qu’on trouve séparément deux équations du premier ordre qui y satisfassent chacune en particulier, et qui renferment chacune une constante arbitraire.
Mais, si l’une de ces deux équations du premier ordre ne contenait point de constante arbitraire, alors l’équation primitive qu’on en déduirait, ne contenant qu’une seule constante arbitraire, n’aurait pas toute la généralité qu’elle peut avoir ; mais elle satisferait toujours à l’équation du second ordre d’où on l’aurait tirée, en même temps qu’elle satisfera aux deux du premier ordre.
Il suit encore de là que, si l’on a une équation du premier ordre, et qu’on en déduise d’une manière quelconque une équation du second
