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et que nous supposons ne devoir contenir que des puissances entières et positives de $i.$ Cette supposition se vérifie en effet par le développement des différentes fonctions connues ; mais personne, que je sache, n’avait cherché à le démontrer a priori, ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire qu’il y a des cas particuliers où elle peut ne pas avoir lieu.

Je vais d’abord démontrer que, dans la série qui résulte du développement d’une fonction $f(x+i),$ il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de $i,$ à moins qu’on ne donne à $x$ des valeurs particulières.

En effet, il est clair que les radicaux de $i$ ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction même $f(x),$ et il est clair, en même temps, que la substitution de $x+i$ au lieu de $x$ ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre des radicaux, ni en changer la nature, tant que $x$ et $i$ seront des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait, par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes, ni plus ni moins, qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développement de la fonction $f(x+i)$ pouvait contenir un terme de la forme $ui^{\frac {m}{n}},$ la fonction $f(x)$ serait nécessairement irrationnelle, et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction $f(x+i),$ ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant représenté par la série

$f(x)+pi+qi^{2}+\ldots +ui^{\frac {m}{n}}+\ldots ,$

chaque valeur de $f(x)$ se combinerait avec chacune des valeurs du radical ${\sqrt[{n}]{i^{m}}}\,;$ de sorte que la fonction $f(x+i)$ développée aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée, ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que $x$ et $i$ demeurent indéterminés. Elle cesserait de l’être, si l’on donnait à $x$ des