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LEÇON DEUXIÈME.

Sur le développement d’une fonction d’une variable, lorsqu’on attribue un accroissement à cette variable. Loi générale de ce développement. Origine des fonctions dérivées. Différents ordres de ces fonctions. leur notation.

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Considérons une fonction $f(x)$ d’une variable quelconque $x.$ Si à la place de $x$ on substitue $x+i,$ $i$ étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra $f(x+i),$ et, par la théorie des séries, on pourra la développer en une suite de cette forme

$f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+\ldots ,$

dans laquelle les quantités $p,q,r,\ldots ,$ coefficients des puissances de $i,$ seront de nouvelles fonctions de $x,$ dérivées de la fonction primitive $f(x),$ et indépendantes de la quantité $i.$

Il est clair que la forme des fonctions $p,q,r,\ldots$ dépendra uniquement de celle de la fonction donnée $f(x),$ et l’on déterminera aisément ces fonctions, dans les cas particuliers, par les règles de l’Algèbre ordinaire, en développant la fonction dans une série ordonnée suivant les puissances de $i.$

Cette dérivation des fonctions est une opération plus générale que l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, et les principaux problèmes d’Analyse, de Géométrie et de Mécanique en dépendent, comme on l’a montré dans la Théorie des fonctions analytiques.

Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit résulter du développement de toute fonction $f(x),$ lorsqu’on y substitue $x+i$ au lieu de $x,$