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tions dérivées, on a une équation dérivée où la plus haute des fonctions dérivées de $y$ ne sera qu’à la première dimension, et qui devra, par conséquent, être identique avec la proposée.

Ainsi, ayant réduit l’équation primitive à la forme

$\operatorname {F} \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,$

où $a$ est la constante arbitraire, on aura l’équation dérivée

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à la variation de $y^{(n-1)},$ d’après la notation abrégée indiquée dans la Leçon VI, peut se mettre sous la forme

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)+y^{(n)}\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)=0,$

d’où l’on tire

$y^{(n)}+{\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}}=0.$

Comme la constante $a$ a disparu, cette équation devra être identique avec l’équation proposée, puisque la valeur de $y^{(n)}$ doit être la même dans les deux équations. Donc la fonction $f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)$ sera identique avec la fonction

${\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}}.$

Ajoutant de part et d’autre la quantité $y^{(n)},$ la fonction

$y^{(n)}+f\left(y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)$

deviendra identique avec la fonction

${\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)+y^{(n)}\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}},$

c’est-à-dire avec la fonction

${\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}}.$