tions dérivées, on a une équation dérivée où la plus haute des fonctions dérivées de
ne sera qu’à la première dimension, et qui devra, par conséquent, être identique avec la proposée.
Ainsi, ayant réduit l’équation primitive à la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20479d741d0afd31e5e8a4b3eba92f2294d7cb19)
où
est la constante arbitraire, on aura l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d540a5cd7a2674c91b6b97df13051b7c61c3372)
laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à la variation de
d’après la notation abrégée indiquée dans la Leçon VI, peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)+y^{(n)}\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d4ee860cbbd44f96cdd73b825d56fc6d386552)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y^{(n)}+{\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1d799842f69a863f28157ab2d36870cd3b76ec)
Comme la constante
a disparu, cette équation devra être identique avec l’équation proposée, puisque la valeur de
doit être la même dans les deux équations. Donc la fonction
sera identique avec la fonction
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd98f688d6d05feb697a5ab733addcf4f6dada8f)
Ajoutant de part et d’autre la quantité
la fonction
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a5a0d4c30513246fc6333760fa66d3acd0de94)
deviendra identique avec la fonction
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)+y^{(n)}\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d1490f9359ec86e37a4d8a2d8715028632493f)
c’est-à-dire avec la fonction
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right)}{\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd98f688d6d05feb697a5ab733addcf4f6dada8f)