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LEÇON TREIZIÈME.

(Continuation de la Leçon précédente.)

Théorie des multiplicateurs des équations dérivées.

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La manière la plus naturelle de trouver l’équation primitive d’une équation d’un ordre quelconque est de la préparer de façon que son premier membre devienne une fonction dérivée exacte ; car alors il n’y aura qu’à prendre sa fonction primitive et y ajouter une constante pour avoir l’équation primitive d’un ordre inférieur ; et, en opérant ainsi successivement, on pourra parvenir à l’équation primitive entre les deux variables et autant de constantes arbitraires que l’ordre de la proposée le comportera.

Or je vais prouver que cette préparation est toujours possible par le moyen d’un multiplicateur, lorsque l’équation dérivée de l’ordre $n$ est réduite à la forme

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

$y^{(n)}$ étant la plus haute des fonctions dérivées de $y.$

D’un côté, il est clair que cette réduction est toujours possible ou censée possible, quelle que soit la forme de l’équation proposée ; car il n’y a qu’à en tirer la valeur de $y^{(n)}$ en $x,y,y',y'',\ldots$ par les règles connues.

De l’autre côté, nous avons déjà observé plus haut que, quelle que puisse être l’équation primitive de l’ordre immédiatement inférieur, si l’on dégage la constante arbitraire, et qu’on prenne ensuite les fonc-