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exacte, étant multiplié par une fonction quelconque de $a,$ et qu’il ne pourra l’être qu’autant que le multiplicateur ne contiendra que $a.$ Donc le second membre deviendra aussi une fonction dérivée exacte, étant multiplié par une fonction quelconque de $a.$

D’où il est aisé de conclure que la formule générale de ce multiplicateur sera

${\frac {\varphi (a)\operatorname {F} '\left(y^{(n-1)}\right)}{\operatorname {F} '(a)}},$

$\varphi (a)$ dénotant une fonction quelconque de $a,$ et la quantité $a$ étant une fonction de $x,y,y',\ldots$ déterminée par l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0,$

$a$ étant ici la constante arbitraire ; car le premier membre de l’équation proposée de l’ordre $n$^ième deviendra, par la multiplication de la formule précédente, identique avec la quantité $-a'\varphi (a)\,:$ de sorte qu’en dénotant par $\Phi (a)$ la fonction primitive de $a'\varphi (a),$ on aura tout de suite l’équation primitive $\Phi (a)=\mathrm {const} .\,;$ d’où l’on tirera aussi $a=\mathrm {const} .$ Or $a$ étant ici la fonction de $x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},$ qui résulte de l’équation

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0,$

il est visible que l’équation $\Phi (a)=const.$ n’est autre chose que cette même équation, dans laquelle on suppose que $a$ devient une constante arbitraire.

Ainsi, lorsqu’une équation dérivée de l’ordre $n$^ième est réduite à la forme

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

chaque équation primitive de l’ordre $n-1$ avec une constante arbitraire, fournit une infinité de multiplicateurs, tous renfermés dans une même formule, lesquels peuvent rendre le premier membre de l’équation une fonction dérivée exacte, et redonner la même équation primitive.

Si l’équation proposée n’est que du premier ordre, il n’y a alors