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qu’une seule équation primitive ; et par conséquent il n’y aura aussi qu’une seule formule de multiplicateurs.

Si l’équation proposée est du second ordre, nous avons démontré qu’elle est susceptible alors de deux différentes équations primitives du premier ordre ; chacune d’elles donnera donc une formule particulière de multiplicateurs ; mais on pourra aussi renfermer ces formules dans une formule plus générale encore.

Car, soit

$y''+f(x,y,y')=0$

l’équation proposée du second ordre, dont les deux équations primitives du premier ordre soient

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0,\quad \operatorname {\overline {F}} (x,y,y',b)=0,$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires.

En regardant ces deux quantités $a$ et $b$ comme des fonctions de $x,y,y',$ déterminées par ces mêmes équations, on trouvera, par l’analyse exposée ci-dessus, les deux équations identiques

${\begin{aligned}\left[y''+f(x,y,y')\right]{\frac {\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(a)}}=&-a',\\\left[y''+f(x,y,y')\right]{\frac {\operatorname {\overline {F'}} (y')}{\operatorname {\overline {F'}} (b)}}=&-b'.\end{aligned}}$

Soit maintenant $\Phi (a,b)$ une fonction quelconque de $a,b\,;$ sa fonction dérivée $\Phi '(a,b)$ sera représentée par $a'\Phi '(a)+b'\Phi '(b)\,;$ de sorte qu’en multipliant la première des équations précédentes par $\Phi '(a),$ la seconde par $\Phi '(b),$ et les ajoutant ensemble, on aura

$\left[y''+f(x,y,y')\right]\left[{\frac {\operatorname {F} '(y')\Phi '(a)}{\operatorname {F} '(a)}}+{\frac {\operatorname {\overline {F'}} (y')\Phi '(b)}{\operatorname {\overline {F'}} (b)}}\right]=-\Phi '(a,b).$

On aura ainsi cette formule générale pour le multiplicateur de l’éduation proposée

${\frac {\operatorname {F} '(y')\Phi '(a)}{\operatorname {F} '(a)}}+{\frac {\operatorname {\overline {F'}} (y')\Phi '(b)}{\operatorname {\overline {F'}} (b)}},$