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d’où l’on tire, sur-le-champ, l’équation primitive du premier ordre

$xy'-2y+\mathrm {A} =0,$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire.

Pour avoir l’équation primitive de celle-ci, je cherche un multiplicateur qui rende son premier membre une fonction dérivée exacte, et il est facile de voir que cela aura lieu en divisant l’équation par $x^{3},$ de sorte que le multiplicateur sera ${\frac {1}{x^{3}}}.$

En effet, elle devient par là

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}+{\frac {\mathrm {A} }{x^{3}}}=0,$

et la fonction primitive du premier membre est

${\frac {y}{x^{2}}}-{\frac {\mathrm {A} }{2x^{2}}}\,;$

de sorte qu’on aura l’équation primitive

${\frac {y}{x^{2}}}-{\frac {\mathrm {A} }{2x^{2}}}+\mathrm {B} =0,$

savoir, en multipliant par $x^{2},$

$y+\mathrm {B} x^{2}-{\frac {\mathrm {A} }{2}}=0,$

$\mathrm {B}$ étant une nouvelle constante arbitraire.

Cette équation, contenant ainsi deux constantes arbitraires $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ sera l’équation primitive complète de l’équation proposée du second ordre ; et l’on voit, en effet, qu’elle coïncide avec l’équation

$x^{2}-2ay+a^{2}+b=0,$

d’où la proposée avait été dérivée, puisqu’il n’y a qu’à la diviser par $\mathrm {B}$ et faire

$\mathrm {B} =-{\frac {1}{2a}},\quad -\mathrm {\frac {A}{2B}} =a^{2}+b.$

Mais, au lieu de chercher, comme on vient de le faire, l’équation