primitive de la primitive du premier ordre, on peut chercher une autre équation primitive de la proposée ; et, pour cela, j’observe que la fonction dérivée de
est
![{\displaystyle mx^{m-1}y^{'n}+nx^{m}y^{'n-1}y''=x^{m-1}y^{'n-1}\left(my'+nxy''\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f03e3039e2d03df08d1b3b49566d969628e96f)
ainsi, la proposée étant
![{\displaystyle xy''-y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfdbeec86f12573b641317c6e7049a21a6b386b)
on voit qu’en faisant
son premier membre deviendra une fonction dérivée exacte, étant multipliée par
ou par
et l’on aura la nouvelle équation primitive
![{\displaystyle {\frac {y'}{x}}+\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b65305369fc353dc9dd9c15842318db80b2af73)
Combinant donc cette équation avec l’équation
![{\displaystyle xy'-2y+\mathrm {A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba6f1fe168c069c039d8ef0772446fae606dd7d)
trouvée précédemment, pour en éliminer
on aura l’équation en
et ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle -\mathrm {B} x^{2}-2y+\mathrm {A} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9e59ed6a270fd6494bfb4de00eb9a0e41bebe8)
qui, à raison des deux constantes arbitraires
et
sera aussi l’équation primitive complète de la proposée. En effet, elle se réduira à la même forme
![{\displaystyle x^{2}-2ay+a^{2}+b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8706ec9d640a855d688d20d6b7b5bda59491e875)
étant divisée par
et faisant
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} }}=-a,\quad -\mathrm {\frac {A}{B}} =a^{2}+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80d2e95ba8d30e0d1adede698e13418cee932db)