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ainsi la condition dont il s’agit aura lieu si le terme $a'\operatorname {F} '(a)$ disparaît ; d’où il suit que la valeur de $y,$ tirée de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

satisfera également à l’équation du premier ordre

$f(x,y,y')=0,$

en prenant pour $a$ une fonction de $x$ déterminée par l’équation

$a'\operatorname {F} '(a)=0.$

Cette équation donne ou

$a'=0,\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {F} '(a)=0.$

L’équation $a'=0$ donne $a$ égal à une constante quelconque ; c’est le cas de l’équation primitive ordinaire, dans lequel $a$ est la constante arbitraire.

Mais l’autre équation

$\operatorname {F} '(a)=0,$

dans laquelle $\operatorname {F} '(a)$ est une fonction de $x,y$ et $a,$ donnera, par la résolution, la valeur de $a$ en $x$ et $y\,;$ et, cette valeur étant substituée dans l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

on aura une nouvelle équation en $x$ et $y,$ sans constante arbitraire, qui conduira également à la même équation dérivée, et qui sera nécessairement différente de l’équation primitive ordinaire, puisque dans celle-ci la quantité $a$ est une constante arbitraire, et que dans l’autre elle devient une fonction de $x$ et $y.$

Donc, en général, si l’on élimine $a$ des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} '(a)=0,$

on aura l’équation qui renfermera les valeurs singulières de $y,$ qui peuvent satisfaire à l’équation dérivée

$f(x,y,y')=0,$