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et supposons qu’elle soit dérivée de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Suivant la théorie générale, cette équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

donnera l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y,a)=0,$

qui se réduit à la forme

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,$

conformément à la notation que nous avons employée jusqu’ici ; et ces deux équations, étant combinées ensemble de manière que la constante $a$ disparaisse, produiront la suivante

$f(x,y,y')=0.$

Maintenant il est clair que le résultat de l’élimination de $a$ sera le même, quelle que soit la quantité $a,$ soit constante ou variable, pourvu que les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0$

soient les mêmes. Donc aussi la même équation

$f(x,y,y')=0$

pourra résulter de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

en supposant $a$ variable et fonction de $x,$ pourvu que l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x,y,a)=0$

soit également

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0.$

Mais, en regardant $a$ comme une fonction de $x,$ on a

$\operatorname {F} '(x,y,a)=\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+a'\operatorname {F} '(a)\,;$