et supposons qu’elle soit dérivée de l’équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be4a300683eff5f4cba34a98a5f8a2af74c2268)
étant la constante arbitraire.
Suivant la théorie générale, cette équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a614a44d12dd63c43f58ce1f21ffb0200adde338)
donnera l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519dff445e1aea5b62e76d10de6683878f33b5b9)
qui se réduit à la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07b4754b3166bcf0c1d743809bde7f2f514b8d5)
conformément à la notation que nous avons employée jusqu’ici ; et ces deux équations, étant combinées ensemble de manière que la constante
disparaisse, produiront la suivante
![{\displaystyle f(x,y,y')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242fbcca4a4e794648fa8ed4b3981695e9ca8949)
Maintenant il est clair que le résultat de l’élimination de
sera le même, quelle que soit la quantité
soit constante ou variable, pourvu que les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0c043ae39e97ddd0f0f2605177201570bd0a7e)
soient les mêmes. Donc aussi la même équation
![{\displaystyle f(x,y,y')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe941c9757cea0ef04d9baef73b1c87eb646618)
pourra résulter de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be4a300683eff5f4cba34a98a5f8a2af74c2268)
en supposant
variable et fonction de
pourvu que l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a8877dd7ff7cb238bbbe9803cc08571a096560)
soit également
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beaa8d2c3085c9daf0d3b202d374ada69ff4454b)
Mais, en regardant
comme une fonction de
on a
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,a)=\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+a'\operatorname {F} '(a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351b0144e56b04c6869f9bcb3820dc3c85182ebf)