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donc l’équation

$\operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{donnera}}\quad a=-y,$

valeur qui, étant substituée dans l’équation primitive, donne

$x^{2}+y^{2}-b=0,$

équation qui satisfait également à l’équation du premier ordre.

En effet, cette équation donne

$y^{2}=b-x^{2}\quad {\text{et}}\quad yy'=-x\,;$

ces valeurs substituées dans l’équation

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0$

la rendent identique.

Comme on sait, par la théorie des équations, que l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(a)=0,$

relative à $a,$ contient la condition qui rend égales deux des racines de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

ordonnée par rapport à $a,$ il s’ensuit que la valeur singulière de $y,$ dans cette équation, a la propriété de donner à l’équation en $a$ une racine double.

On voit, en effet, que l’équation

$a^{2}+2ay-x^{2}+b=0$

acquiert une racine double, en faisant

$y^{2}=b-x^{2}.$

Si l’équation primitive était

$\left(x^{2}+y^{2}-b\right)\left(y^{2}-2ay\right)+\left(x^{2}-b\right)a^{2}=0,$

$a$ étant la constante arbitraire, l’équation dérivée relative à $a$ serait

$-y\left(x^{2}+y^{2}-b\right)+\left(x^{2}-b\right)a=0,$