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d’où l’on tire

$a={\frac {y\left(x^{2}+y^{2}-b\right)}{x^{2}-b}},$

valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne

${\frac {y^{4}\left(x^{2}+y^{2}-b\right)}{x^{2}-b}}=0,$

et, par conséquent,

$x^{2}+y^{2}-b=0$

pour l’équation primitive singulière.

Mais, de ce que cette équation rend la valeur même de $a$ nulle, il suit qu’elle ne sera qu’un cas particulier de l’équation primitive ; en effet elle résulte de celle-ci, en y faisant $a=0.$

On peut appliquer aux équations des ordres supérieurs au premier la théorie que nous venons de donner sur les équations dérivées de cet ordre.

En effet, si

$\operatorname {F} \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

est l’équation primitive de l’équation de l’ordre $n$

$f\left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)=0,$

$a$ étant la constante arbitraire, celle-ci doit résulter de l’élimination de $a$ entre l’équation primitive et son équation dérivée ; et il est évident que le résultat de cette élimination sera le même, soit que la quantité $a$ soit constante ou variable, pourvu que les deux équations soient de la même forme.

Or l’équation primitive

$\operatorname {F} \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)},a\right)=0$

est la même dans l’un et dans l’autre cas son équation dérivée est, dans le cas de $a$ constante,

$\operatorname {F} '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0\,;$