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donnera, par l’élimination de $a$ et $b,$ l’équation singulière résultant de l’équation dérivée relative à $a.$

En regardant de même $a$ comme fonction de $b$ dans l’équation

$\varphi (x,y,y',a,b)=0,$

on aura également l’équation dérivée relative à $b$

$a'\varphi '(a)+\varphi '(b)=0,$

et la valeur de $a'$ dépendra alors de l’équation dérivée relativement à $b,$

$a'\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b)=0\,;$

de sorte que, par l’élimination de $a',$ on aura pareillement

$\varphi '(a)\operatorname {F} '(b)-\varphi '(b)\operatorname {F} '(a)=0.$

Ainsi l’équation primitive singulière, déduite de l’équation dérivée relative à $b,$ sera encore le résultat de l’élimination de $a$ et $b,$ par le moyen de l’équation précédente et des équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \varphi (x,y,y',a,b)=0.$

Donc ce résultat sera le même dans les deux cas, puisque les équations sont les mêmes.

Il suit de là qu’on peut trouver directement l’équation primitive singulière d’une équation du second ordre, au moyen de son équation primitive complète, sans connaître en particulier les deux équations primitives du premier ordre ; car, soit

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

cette équation, où $a$ et $b$ sont les deux constantes arbitraires ; il n’y aura qu’à éliminer $a,b$ et $b',$ au moyen des quatre équations

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {F} (x,y,a,b)=&0,&\varphi (x,y,y',a,b)=&0,\\\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=&0,\qquad &\varphi '(a)+b'\varphi '(b)=&0,\end{alignedat}}$

en supposant

$\varphi (x,y,y',a,b)=\operatorname {F} '(x,y).$