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On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

est supposée l’équation primitive entre $x$ et $y,$ et les trois constantes arbitraires $a,b,c$ d’une équation dérivée du troisième ordre, les trois équations primitives du second ordre donneront une même équation primitive singulière de ce même ordre, qui ne sera que le résultat de l’élimination de $a,b,c$ et de $b',c',$ au moyen de ces six équations

${\begin{aligned}\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=&0,\\\varphi (x,y,y',a,b,c)=&0,\\\psi (x,y,y',y'',a,b,c)=&0,\\\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c)=&0,\\\varphi '(a)+b'\ \varphi '(b)+c'\varphi '(c)=&0,\\\psi '(a)+b'\ \psi '(b)+c'\psi '(c)=&0,\\\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{aligned}\varphi (x,y,y',a,b,c)=&\operatorname {F} '\,(x,y),\\\psi (x,y,y',y'',a,b,c)=&\operatorname {F} ''(x,y)\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Ainsi l’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0$

ayant, comme on l’a vu ci-dessus, pour équation primitive entre $x$ et $y,$ l’équation

${\frac {x^{3}}{3}}-2ay+a^{2}x+b=0,$

où $a$ et $b$ sont les constantes arbitraires, on aura tout de suite l’équation primitive singulière du premier ordre, en combinant cette équation avec son équation dérivée ordinaire, et avec les deux dérivées de celles-ci, prises par rapport à $a,$ et en regardant $b$ comme fonction de $x,y,y'$ et $a,$ de manière que les quantités $a,b$ et $b'$ disparaissent.