savoir, en développant les puissances de
et n’écrivant, pour abréger, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffit pour notre objet,
![{\displaystyle f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+i^{4}s+\ldots +op+2ioq+3i^{2}or+4i^{3}os+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d403800e46b51bcb3c8ba8f2dbe8830426a101ae)
Pour faire maintenant la substitution de
au lieu de
dans la même série, nous observons que, puisque la fonction
devient
lorsqu’on change
en
elle deviendra
en y changeant
en
De même, si
sont ce que deviennent les fonctions
lorsqu’on y substitue
au lieu de
et qu’on les développe suivant les puissances de
on aura, en changeant
en
![{\displaystyle p+op'+\ldots ,\quad q+oq'+\ldots ,\quad r+or'+\ldots ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfaa15a53670a8f26ba6cdddd4779f57fa2a303e)
pour les développements des mêmes fonctions après la substitution de
au lieu de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Donc, par cette substitution, la série
deviendra, en omettant les termes qui contiendraient le carré et les puissances plus hautes de
![{\displaystyle f(x)+ip+i^{2}q+i^{3}r+i^{4}s+\ldots +op+iop'+i^{2}0q'+i^{3}or'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1113d7527f9c33b16220beb5b190ca881de1716b)
Ce résultat doit être identique avec le précédent, indépendamment des valeurs de
et de
qui peuvent être quelconques ; il faudra donc que les termes affectés des mêmes puissances et produits de
et
soient identiques en particulier. Ainsi on aura les équations identiques
![{\displaystyle 2q=p',\quad 3r=q',\quad 4s=r',\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df1ed87d8797c56300c042f4f79d7ebb8695fe6)
d’où l’on tire
![{\displaystyle q={\frac {1}{2}}p',\quad r={\frac {1}{3}}q',\quad s={\frac {1}{4}}r',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08072191307f9af4b356bbc8bfdd3c7241ff7991)
Dénotons en général par
la fonction
dérivée de la fonction
en mettant un accent à la caractéristique
pour indiquer la dérivation de la fonction. Dénotons de même par
la fonction dérivée de la fonction
en ajoutant un accent à la caractéristique
de la