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Si l’on élimine tour à tour $a$ et $b$ de cette équation, au moyen de son équation dérivée

$y'-ax-b=0,$

on a ces deux-ci

$y+\left({\frac {a}{2}}-a^{2}\right)x^{2}-(1-2a)xy'-a^{2}-y'^{2}=0,$

$y-{\frac {(b+y')x}{2}}-{\frac {(b-y')^{2}}{x^{2}}}-b^{2}=0.$

En prenant l’équation dérivée de la première relativement à $a,$ on trouve

$\left({\frac {1}{2}}-2a\right)x^{2}+2xy'-2a=0\,;$

d’où résulte

$a={\frac {x^{2}+4xy'}{4\left(1+x^{2}\right)}},$

valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne

$y-xy'-y'^{2}+{\frac {\left(4xy'+x^{2}\right)^{2}}{16\left(1+x^{2}\right)}}=0.$

De même l’équation dérivée de la seconde, relativement à $b,$ sera

${\frac {x}{2}}+{\frac {2(b-y')}{x^{2}}}+2b=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {4y'-x^{3}}{4\left(1+x^{2}\right)}}\,;$

et la substitution de cette valeur donnera

$y-{\frac {xy'}{2}}-{\frac {y'^{2}}{x^{2}}}+{\frac {\left(4y'-x^{3}\right)^{2}}{16x^{2}\left(1+x^{2}\right)}}=0\,;$

ces deux équations reviennent au même, car elles se réduisent l’une et l’autre à celle-ci

$\left(1+x^{2}\right)y-\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}\right)y'-y'^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=0,$