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Pour donner plus de généralité à cet exemple, en conservant la constante $b$ dans l’équation dérivée, je donnerai d’abord à l’équation primitive la forme

$x^{2}+3a^{2}+{\frac {3b-6ay}{x}}=0,$

et j’aurai pour sa dérivée

$2x-{\frac {6ay'}{x}}-{\frac {3b-6ay}{x^{2}}}=0.$

Prenant maintenant les dérivées de l’une et de l’autre relativement à $a,$ il viendra

${\begin{aligned}6a-{\frac {6y}{x}}\ -{\frac {3b'}{x}}\ =&0,\\{\frac {6y}{x^{2}}}-{\frac {6y'}{x}}-{\frac {3b'}{x^{2}}}=&0,\end{aligned}}$

$b$ étant supposé fonction de $a$

En éliminant d’abord $b',$ on a

${\frac {6(a-y')}{x}}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad a=y'\,;$

les deux premières donnent ensuite, en éliminant $b,$

$3x+{\frac {3a^{2}-6ay'}{x}}=0\,;$

substituant la valeur de $a,$ il vient

$3x-{\frac {3y'^{2}}{x}}=0,\quad {\text{ou}}\quad y'^{2}-x^{2}=0,$

comme plus haut.

Soit encore l’équation du second ordre

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0,$

dont l’équation primitive en $x$ et $y$ est

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0.$