multiplicateur d’une équation d’un ordre quelconque
de la forme
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd82e42d44a7f69a325fc1b914ecc2f41870fc5)
Car,
étant un multiplicateurde cette équation, on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right]=\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3572f41863e1844c45dfd7c88604391cc49fc4)
et l’équation deviendra
![{\displaystyle \Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cbb617508266fe6bf98f4c1dceaf4642053622)
dont la primitive sera
![{\displaystyle \Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdea4453a17463ae22e939de2a55edb90fa9695)
étant une constante arbitraire.
Maintenant l’équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181cea2431c691fc907e56ea61e462756220ecd8)
et ne doit pas être comprise dans sa primitive complète
![{\displaystyle \Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e8d21b33e2776ce1426ea3995c0487f3741c53)
Donc la valeur de
tirée de la primitive singulière, étant substituée dans la fonction
ne doit pas la rendre égale à une constante ; par conséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée
Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d457d763393c379bdf9eaa0d341f08c4cbaacfbf)
et ne doit pas rendre nulle la quantité
![{\displaystyle \mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9a6d572c2d07998410a93b520d10a0b65495c2)
ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’elle rendra la quantité
infinie.