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multiplicateur d’une équation d’un ordre quelconque $n,$ de la forme

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0.$

Car, $\mathrm {M}$ étant un multiplicateurde cette équation, on aura

$\mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right]=\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\,;$

et l’équation deviendra

$\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

dont la primitive sera

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Maintenant l’équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

et ne doit pas être comprise dans sa primitive complète

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a.$

Donc la valeur de $y^{(n-1)},$ tirée de la primitive singulière, étant substituée dans la fonction $\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),$ ne doit pas la rendre égale à une constante ; par conséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée $\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right).$

Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right),$

et ne doit pas rendre nulle la quantité

$\mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right],$

ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’elle rendra la quantité $\mathrm {M}$ infinie.