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$\Phi (a,b)$ étant une fonction quelconque de $a$ et $b,$ c’est-à-dire de leurs valeurs déterminées par les équations précédentes.

Or l’équation primitive singulière rend nulle chacune des deux fonctions dérivées $\operatorname {F} '(a),\operatorname {\overline {F'}} (b)\,;$ donc tous les multiplicateurs deviendront infinis dans le cas de cette équation, et ainsi de suite.

Par exemple, l’équation

$y'-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}}=0,$

qui est la même que celle qu’on a considérée ci-dessus, $a,$ pour l’un de ses multiplicateurs, la quantité

${\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}}.$

En supposant ce multiplicateur infini, on a

$x^{2}+y^{2}-b=0$

pour son équation primitive singulière ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a déjà trouvé.

On a donc ainsi un nouveau moyen de trouver les équations primitives singulières par les multiplicateurs.

Mais, quoiqu’il soit prouvé que tout multiplicateur doit devenir infini par l’équation primitive singulière, on ne peut pas dire, réciproquement, que toute équation qui rendra un multiplicateur infini sera une équation singulière. En effet, la formule générale des multiplicateurs étant pour le premier ordre ${\frac {\Phi (a)\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(a)}},$ il est évident que sa valeur peut devenir infinie sans que l’on ait

$\operatorname {F} '(a)=0\,;$

car pour cela il suffit que l’une ou l’autre des fonctions $\Phi (a),\operatorname {F} '(y)$ reçoive une valeur infinie.

Au reste, on peut se convaincre aussi, par ce raisonnement fort simple, que l’équation primitive singulière doit rendre infini tout