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En prenant la dérivée de celle-ci, on a

$x-{\frac {y}{y'}}-x+{\frac {xyy''}{y'^{2}}}-{\frac {x}{y'^{2}}}+{\frac {x^{2}y''}{y'^{3}}}=0,$

équation qui se réduit à

$\left({\frac {y}{y'}}+{\frac {x}{y'^{2}}}\right)\left({\frac {xy''}{y'}}-1\right)=0,$

comme nous l’avons déjà ohservé dans la Leçon XII.

En la mettant sous la forme

$\left({\frac {1}{y'}}-{\frac {xy''}{y'^{2}}}\right)\left(y+{\frac {x}{y'}}\right)=0,$

on voit qu’elle revient à

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

en supposant

$\operatorname {F} (x,y,a)=x^{2}-2ay-a^{2}-b$

et prenant pour $\varphi$ la valeur de $a,$ tirée de l’équation prime

$x-ay'=0.$

Le facteur du premier ordre donne l’équation

$y+{\frac {x}{y'}}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad y'=-{\frac {x}{y}},$

valeur qui, étant substituée dans l’équation du premier ordre, la réduit à

$x^{2}-b+2y^{2}-y^{2}=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+y^{2}-b=0,$

équation primitive singulière, comme nous l’avons déjà trouvée ; car l’équation dérivée, que nous considérons ici, est la même que l’équation

$y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-yy'-x=0,$

que nous avons considérée dans le premier exemple de la Leçon précédente mais, sous cette forme, elle n’aurait pas son équation prime décomposable en deux facteurs.