Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/197

déjà observé plus haut ; et ce résultat sera évidemment le même que celui de l’élimination de la quantité $a$ des deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a)=0.$

Donc, par ce qu’on a démontré dans la Leçon précédente, ce résultat donnera l’équation primitive singulière de l’équation dérivée dont

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

est l’équation primitive ordinaire, $a$ étant la constante arbitraire.

D’où l’on doit conclure que l’équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0$

donnera, par l’élimination de $y',$ la même équation primitive singulière de la proposée du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

qu’on eût trouvée d’après son équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

suivant les principes et la méthode exposés dans la Leçon précédente.

On voit par là qu’il est toujours possible de mettre l’équation dérivée sous une forme telle que sa dérivée donne elle-même immédiatement l’équation primitive singulière, s’il y en a une ; et c’est une observation qui n’avait point encore été faite jusqu’ici.

Reprenons l’équation du premier exemple de la Leçon précédente

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0,$

en la regardant comme une équation primitive dont $a$ est la constante arbitraire ; pour avoir l’équation dérivée qui ait la propriété dont il s’agit, il faudra y substituer pour $a$ sa valeur ${\frac {x}{y'}}$ tirée de la dérivée

$x-ay'=0.$

Ainsi l’équation dérivée dont il s’agit sera

$x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}-b=0.$