l’équation primitive du premier ordre d’une équation dérivée du second.
En éliminant
au moyen de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9624a27194da3937db31c6e797af551d11fc8147)
on aura l’équation du second ordre ; et, en l’éliminant au moyen de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28dad4cbd1c0f0628ea3c721bff102e41f5c43e)
on aura l’équation primitive singulière.
Soit
ou simplement
la valeur de
en fonction de
tirée de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,y')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbfcdca896023d7fe2d7ca58d26119a8fd0d12c)
en substituant cette valeur dans l’équation primitive, on aura une équation dérivée de la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c254036a681d229a0878a171b442dfdde382ed4e)
et, si l’on prend l’équation dérivée de celle-ci, il est visible que la partie
relative à la variation de
sera identiquement nulle, puisque la quantité
qui y est regardée comme constante, est supposée déterminée par l’équation même
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,y')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2c5970438f76ee2eda2e2d424e0eabeca47502)
Il ne restera donc que l’équation
![{\displaystyle \varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095551f624ffd89d14557e792551437e10af6bc5)
qui se décompose en
![{\displaystyle \varphi '=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(\varphi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aab0d84c1e9521f38b6b394176815f680224804)
L’équation
![{\displaystyle \varphi '=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b90212e13aaa9824f08a3254cd7d55bcbfc35e)
sera du troisième ordre, et donnera la valeur de
Son équation primitive sera évidemment
![{\displaystyle \varphi =a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c590a5fa0ff0223dfd50edcd5d7c0f537ca606)
en prenant
pour une constante quelconque. Éliminant
qui est