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l’équation primitive du premier ordre d’une équation dérivée du second.

En éliminant $a$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0,$

on aura l’équation du second ordre ; et, en l’éliminant au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(a)=0,$

on aura l’équation primitive singulière.

Soit $\varphi (x,y,y',y''),$ ou simplement $\varphi ,$ la valeur de $a$ en fonction de $x,y,y',y'',$ tirée de l’équation

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0\,;$

en substituant cette valeur dans l’équation primitive, on aura une équation dérivée de la forme

$\operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0\,;$

et, si l’on prend l’équation dérivée de celle-ci, il est visible que la partie $\operatorname {F} '(x,y,y'),$ relative à la variation de $x,y,y',$ sera identiquement nulle, puisque la quantité $\varphi ,$ qui y est regardée comme constante, est supposée déterminée par l’équation même

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0.$

Il ne restera donc que l’équation

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0,$

qui se décompose en

$\varphi '=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(\varphi )=0.$

L’équation

$\varphi '=0$

sera du troisième ordre, et donnera la valeur de $y'''.$ Son équation primitive sera évidemment

$\varphi =a,$

en prenant $a$ pour une constante quelconque. Éliminant $y'',$ qui est