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contenu dans $\varphi ,$ au moyen de l’équation dérivée

$\operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0,$

on aura le même résultat que par l’élimination de $w\,;$ c’est-à-dire,

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0,$

équation primitive.

L’autre équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0$

donnera aussi, par l’élimination de $y'',$ le même résultat que par l’élimination de $\varphi ,$ et, par conséquent, le même résultat que par l’élimination de $a,$ au moyen des équations

$\operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,y',a)=0,$

qui sont les mêmes en y changeant $a$ en $\varphi .$

Donc ce résultat sera l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre dont

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0$

est l’équation primitive du premier ordre.

L’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0,$

que nous avons considérée dans les Leçons précédentes, a pour dérivée

$2\left(y''-{\frac {y'}{x}}\right)y'''-{\frac {2y''^{2}}{x}}+{\frac {2y'y''}{x^{2}}}=0,$

qu’on peut mettre sous cette forme

$2\left(y''-{\frac {y'}{x}}\right)\left(y'''-{\frac {y''}{x}}\right)=0.$

Le facteur $y''-{\frac {y'}{x}},$ n’étant que du même ordre que la proposée, donnera, par l’élimination de $y'',$ une équation primitive singulière de celle-ci ; car, en faisant $y''-{\frac {y'}{x}}=0,$ on a

$y''={\frac {y'}{x}},$