contenu dans
au moyen de l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',\varphi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f21a657cfb9fa74649c326200f1f3e1899ebdd8)
on aura le même résultat que par l’élimination de
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e9044d3083d6e43f2a49c08cee6e6bbaf7813a)
équation primitive.
L’autre équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(\varphi )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14e85460a9be54403e718f1595ed2906f13771a)
donnera aussi, par l’élimination de
le même résultat que par l’élimination de
et, par conséquent, le même résultat que par l’élimination de
au moyen des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,y',a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c3be21f6fcf0c38c4e721cbdf8a26f2be5b766)
qui sont les mêmes en y changeant
en ![{\displaystyle \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b6c90c1e9984232aed2d530ac2fb2660ea000a)
Donc ce résultat sera l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre dont
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6b4bb0b1fe0a36fc6b0a06e917e51649d488aa)
est l’équation primitive du premier ordre.
L’équation du second ordre
![{\displaystyle y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c51288c94c6cd94dee59b9c4082ef6157610009)
que nous avons considérée dans les Leçons précédentes, a pour dérivée
![{\displaystyle 2\left(y''-{\frac {y'}{x}}\right)y'''-{\frac {2y''^{2}}{x}}+{\frac {2y'y''}{x^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82643ceecd7dc0c58d10a0c399f70aaa7759a008)
qu’on peut mettre sous cette forme
![{\displaystyle 2\left(y''-{\frac {y'}{x}}\right)\left(y'''-{\frac {y''}{x}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3b1ea50a2046ab1fecc4edc4831a6e26d61542)
Le facteur
n’étant que du même ordre que la proposée, donnera, par l’élimination de
une équation primitive singulière de celle-ci ; car, en faisant
on a
![{\displaystyle y''={\frac {y'}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86808fdd82a2fc296055ef66aa2375749528bb09)