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Je considère maintenant que, comme toute équation dérivée du premier ordre, telle que

$f(x,y,y')=0,$

ne peut être que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire $a,$ au moyen de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

ainsi que nous l’avons vu dans la Leçon XII, et que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

est déjà le résultat de cette élimination par ce que nous avons démontré plus haut ; il suit, de la théorie connue de l’élimination, que, si les deux équations

$f(x,y,y')=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer que par un facteur qui affectera l’une des deux, et qui ne pourra être qu’une fonction de $x,y$ et $y'.$

Supposons donc que $\mathrm {M}$ soit un pareil facteur, en sorte qu’on ait l’équation identique

$f(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} (x,y,\varphi ).$

On aura donc, en prenant les fonctions dérivées,

$f'(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(x,y,\varphi )+\mathrm {M} '.\operatorname {F} (x,y,\varphi )\,;$

mais nous avons déjà vu que la dérivée de $\operatorname {F} (x,y,\varphi )$ se réduit à $\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )\,;$ donc, substituant $\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )$ pour $\operatorname {F} '(x,y,\varphi ),$ et mettant à la place de $\operatorname {F} (x,y,\varphi )$ sa valeur ${\frac {f'(x,y,y')}{\mathrm {M} }},$ on aura

$f'(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(\varphi ).\varphi '+\mathrm {\frac {M'}{M}} .f(x,y,y')\,;$

c’est la forme générale de la dérivée de la fonction $f(x,y,y')$ qui est le premier membre de l’équation proposée.