Je considère maintenant que, comme toute équation dérivée du premier ordre, telle que
![{\displaystyle f(x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70497a4f931fc363ed8b7ba5dc8d18898e7fc94)
ne peut être que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire
au moyen de l’équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be4a300683eff5f4cba34a98a5f8a2af74c2268)
et de sa dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbe4d4cdc3ee99041e28bb5d4fef98f00e773a3)
ainsi que nous l’avons vu dans la Leçon XII, et que l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b67ce188366162148fbd434fdd263836d815627)
est déjà le résultat de cette élimination par ce que nous avons démontré plus haut ; il suit, de la théorie connue de l’élimination, que, si les deux équations
![{\displaystyle f(x,y,y')=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcea611f9ca4a934be6e457570121690866aee4a)
ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer que par un facteur qui affectera l’une des deux, et qui ne pourra être qu’une fonction de
et ![{\displaystyle y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421ef86a37f3e826be46d6200a70f66b222fb198)
Supposons donc que
soit un pareil facteur, en sorte qu’on ait l’équation identique
![{\displaystyle f(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} (x,y,\varphi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87434c71f11fe4bcbd7ea8c22fd3eb26b5a2c56d)
On aura donc, en prenant les fonctions dérivées,
![{\displaystyle f'(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(x,y,\varphi )+\mathrm {M} '.\operatorname {F} (x,y,\varphi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3134ce62054319952180be11e686f6e9598110ce)
mais nous avons déjà vu que la dérivée de
se réduit à
donc, substituant
pour
et mettant à la place de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle f'(x,y,y')=\mathrm {M} .\operatorname {F} '(\varphi ).\varphi '+\mathrm {\frac {M'}{M}} .f(x,y,y')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957e086a0482f6d89ce66afaf0173d67a5898afa)
c’est la forme générale de la dérivée de la fonction
qui est le premier membre de l’équation proposée.