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de l’équation prime

$\operatorname {F} '(x,y)=0\,;$

et nous avons vu en même temps que l’équation primitive singulière rend la fonction $\operatorname {F} '(\varphi )$ nulle.

Supposons, ce qui est toujours possible, que l’équation dérivée proposée soit réduite à la forme

$y'+f(x,y)=0\,;$

donc, si, dans l’équation

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

on substitue à la place de $y'$ sa valeur $-f(x,y),$ elle deviendra nécessairement identique ; par conséquent ses deux équations dérivées, relatives l’une à $x$ et l’autre à $y,$ auront Ueu chacune en particulier.

On aura donc ainsi, puisque la quantité $y'$ n’est contenue que dans la fonction, ces deux équations, dans lesquelles $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y)et\operatorname {F} '(\varphi )$ dénotent, comme à l’ordinaire, les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (x,y,\varphi ),$ prises relativement à $x,y$ et $\varphi ,$

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)-\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(x)=&0,\\\operatorname {F} '(y)\,-\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y)=&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$f'(x)={\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\quad f'(y)={\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}}.$

Or l’équation primitive singulière rend

$\operatorname {F} '(\varphi )=0\,;$

donc elle rendra infinies les deux fonctions $f'(x)$ et $f'(y).$

Ce qui fournit un caractère fort simple pour reconnaître si une valeur qui satisfait, sans constante arbitraire, à une équation dérivée donnée, est une valeur singulière ou simplement un cas particulier de la valeur générale.

Cette propriété peut servir aussi à trouver les valeurs singulières dont une équation dérivée est susceptible ; car, si l’équation qui rend