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que nous venons de trouver pour la dérivée de la proposée du second ordre, donne naturellement

$y'''=0,$

d’où l’on tire successivement, par les fonctions primitives,

$y''=a,\quad y'=ax+b$

et

$y={\frac {a}{2}}x^{2}+bx+c,$

$a,b,c$ étant des constantes arbitraires, relativement à l’équation

$y'''=0\,;$

mais, comme la proposée n’est que du second ordre, elle aura une constante arbitraire de moins ; et, en y substituant les valeurs précédentes de $y,y',y'',$ elle devient

$c-b^{2}-a^{2}=0\,;$

ce qui donne $c=a^{2}+b^{2},$ de manière que l’équation primitive en $x$ et $y$ devient

$y={\frac {a}{2}}x^{2}+bx+a^{2}+b^{2},$

comme on l’a vu plus haut.

Ainsi, dans ce cas, les deux facteurs de la dérivée de l’équation proposée donnent directement, l’un, l’équation primitive singulière du premier ordre ; l’autre, l’équation primitive en $x$ et $y,$ comme nous l’avons déjà vu ci-dessus dans un autre exemple.

Nous avons vu, au commencement de cette Leçon, que l’équation dérivée d’une équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0$

peut être représentée par

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

où $\varphi$ est mis pour $\varphi (x,y,y'),$ cette fonction étant la valeur de $a,$ tirée