soit l’équation primitive du premier ordre, et que
ou
soit la valeur de
tirée de l’équation prime
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,y')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2c5970438f76ee2eda2e2d424e0eabeca47502)
On a vu, en même temps, que l’équation primitive singulière est donnée alors par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(\varphi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac4eec937677f46bda7b0ee3ec538e6ec1f5875)
Supposons maintenant que l’équation proposée soit réduite à la forme
![{\displaystyle y''+f(x,y,y')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea97a3eb3c0d8857b907659366b4321fd1eca72)
Donc, si dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,y',\varphi )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a6d11890041f616b24770079210042591b1020)
on substitue pour
sa valeur
on aura une équation identique dont, par conséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables
en particulier.
Ainsi, comme la fonction
n’est contenue que dans la fonction
on aura ces trois équations :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x\,)-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(x\,)=0,\\\operatorname {F} '(y\ )-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y\ )=0,\\\operatorname {F} '(y')-&\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')f'(y')=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd53ec9397ea63d4cda284fee66ace13affe5ba6)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x\,)=&{\frac {\operatorname {F} '(x\,)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\\f'(y\ )=&{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}},\\f'(y')=&{\frac {\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(\varphi )\varphi '(y')}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c758857f2256f8c6c62651e750f8b9f5cf8dc9)
L’équation primitive singulière étant donnée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(\varphi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5804e50d82b439abb7b06ef786015c99262fc89d)
il s’ensuit qu’elle rendra infinies les trois fonctions dérivées ![{\displaystyle f'(x),f'(y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1f17ffcee3f8a588e19fc5d2aede7939c70cc0)
![{\displaystyle f'(y'),\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0b950f311d1b7c12c445bb549842c2bb7244e1)