En général, on pourra prouver de la même manière que, si l’on a une équation de l’ordre
ième, réduite à la forme
![{\displaystyle y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181cea2431c691fc907e56ea61e462756220ecd8)
son équation primitive singulière rendra infinies les fonctions dérivées ![{\displaystyle f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9295da6cc8baaeecdd6fd3e8c7401c781765d127)
jusqu’à la suivante inclusivement, ![{\displaystyle f'\left(y^{(n-1)}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ec1cb3cf956180fc9eb81c5e13ca9e8caa1f1d)
Pour confirmer, a posteriori, ce que nous venons de démontrer, considérons une équation du premier ordre, telle que
![{\displaystyle y'+f(x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29f67ab864fae3b6652519d208cb26ec65db50d)
à laquelle satisfasse une valeur singulière de
que nous désignerons par
fonction de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
On aura donc, par l’hypothèse,
![{\displaystyle \mathrm {X} '+f(x,\mathrm {X} )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf90347a2db47f2a1fbcd5f3b51cf8857bcdf16)
et, pour que la valeur
ne soit pas comprise parmi les valeurs de
données par l’équation primitive, il faudra qu’en supposant, en général,
![{\displaystyle y=\mathrm {X} +z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bbfcd2e8ded19a7c7c7c68b2a25e1866e83a36)
étant une nouvelle variable, la valeur de
tirée de l’équation primitive ordinaire, ne puisse jamais être nulle.
Substituons donc
au lieu de
dans l’équation proposée ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '+z'+f(x,\mathrm {X} +z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142433a28f313f29677bb80403e9d44c7ce80526)
Développons la fonction
suivant les puissances de
on aura généralement, en rapportant les fonctions dérivées à la seule variable
![{\displaystyle f(x,\mathrm {X} +z)=f(x,\mathrm {X} )+zf'(\mathrm {X} )+{\frac {z^{2}}{2}}f''(\mathrm {X} )+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50158a137e5b94153d5cce140cf04242f7f1ceea)
donc, faisant cette substitution, on aura, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {X} '+f(x,\mathrm {X} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316779732530bc93085cd3f8c6d5a813b1f6d57e)