tième, pour que ce développementdonne, dans le cas de
une puissance de
moindre que la première, il faudra que, dans ce cas, la valeur de
c’est-à-dire de
devienne infinie.
Or l’équation proposée donne
![{\displaystyle y'=-f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e354ff8d711017078b70ccb236b8357c847d1d93)
et, prenant les fonctions dérivées,
![{\displaystyle y'=-f'(x)-y'f'(y)=-f'(x)+f'(y)f(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e6639fa0ff631698eabd4a0c0ece3beb345276)
donc
![{\displaystyle f'(x)=f'(y)f(x,y)-y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb9b65178afbf6c62014ec831b9926f1a9b20b0)
Par conséquent on aura, lorsque
![{\displaystyle f'(y)=\infty \quad {\text{et}}\quad f'(x)=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d005f7e1c25391aa4e70997849caae25e2e9943e)
comme nous l’avons trouvé par la nature même des équations dérivées.
Dans l’exemple ci-dessus, où
![{\displaystyle f(x,y)=-{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}-y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cadd2773e2849edfaf97a528b53a3d9bc93663)
la valeur singulière de
est
ainsi
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\sqrt {b-x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec4f5dda29f2ee63758df137fbe6c8bc0e5a2c5)
et substituant
à la place de
la fonction dont il s’agit devient
![{\displaystyle {\frac {-x}{{\sqrt {2z{\sqrt {b-x^{2}}}+z^{2}}}-{\sqrt {b-x^{2}}}-z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d002b8c87b1a470cdb4c07bf2b49b0fd3c1832)
laquelle, étant développée suivant les puissances de
donne
![{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {b-x^{2}}}}+{\frac {\sqrt {2z}}{\left(b-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2379adeb849c05a45e38336125d773138c0e696)
où l’on voit que le second terme du développement contient la puissance
dont l’exposant
est moindre que l’unité.