étant des nombres quelconques qui vont en augmentant, et
des fonctions de
on aura l’équation en
![{\displaystyle z'+\mathrm {P} z^{m}+\mathrm {Q} z^{n}+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beaaf0c03d773e6f193bc134339e393284561d90)
On aura donc aussi, pour la première approximation,
![{\displaystyle z'+\mathrm {P} z^{m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215e3599064704bd373b53ef5dcdf5503be81c1f)
équation qui, étant divisée par
a pour équation primitive
![{\displaystyle {\frac {z^{1-m}}{1-m}}+\mathrm {V} =k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c099dfc0604ef25b38de296ff4b07c8194ebba)
en prenant
pour la fonction primitive de
et
pour la constante arbitraire.
Or, pour que
soit une valeur singulière de
il faut que la valeur
qui y répond, ne puisse pas être contenue dans cette équation, en donnant à
une valeur quelconque constante.
Il faut donc que l’exposant
de
soit un nombre positif ; car, s’il était négatif,
deviendrait infini lorsque
et répondrait à la supposition de
infini.
S’il était nul, on aurait le cas que nous venons d’examiner, où
et où
répond aussi à
infini.
Au contraire, lorsque
est positif,
donne aussi
![{\displaystyle z^{1-m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e80ba2432b0bfe9862f71ff9ee386b3871cb8f)
et l’équation devient alors
![{\displaystyle \mathrm {V} =k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718c93cfa2faec93071f7c289e3da926babbdcb5)
laquelle ne peut pas subsister, parce que la valeur de
ne serait plus constante.
Donc, pour que
puisse être une valeur singulière de
il faut que le développement de
contienne une puissance
dans laquelle
En considérant la fonction
son développement, lorsqu’on y met
à la place de
est, en général,
donc, suivant la théorie que nous avons exposée dans la Leçon hui-