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LEÇON SEIZIÈME.

Équations dérivées qui ont des équations primitives singulières données. Analyse d’une classe d’équations de tous les ordres qui ont toujours nécessairement des équations primitives singulières.

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Si les équations primitives singulières ont moins d’étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu’elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu’une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d’équations dérivées ; et c’est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux, et qu’il peut être utile dans plusieurs occasions, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre théorie des équations primitives singulières.

Représentons par

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

une équation primitive entre $x,y$ et deux constantes $a$ et $b,$ dont l’une soit une fonction quelconque de l’autre, ou qui dépendent, en général, l’une de l’autre par l’équation

$\Phi (a,b)=0.$

On aura l’équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \Phi (a,b)=0.$