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Donc, si l’on tire des deux premières les valeurs de $a$ et $b$ en fonctions de $x,y,y',$ et qu’on désigne ces valeurs par

$\varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad \psi (x,y,y'),$

on aura l’équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de $a$ et $b$ dans l’équation de condition

$\Phi (a,b)=0.$

Ainsi, en mettant simplement $\varphi$ et $\psi$ pour les fonctions dont il s’agit, l’équation dérivée sera

$\Phi (\varphi ,\psi )=0.$

Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

les deux constantes $a$ et $b$ étant liées par l’équation

$\Phi (a,b)=0\,;$

et l’on aura en même temps les deux équations

$\varphi (x,y,y')=a,\quad \psi (x,y,y')=b.$

Donc toute valeur de $y$ en $x$ qui satisfera à la même équation

$\Phi (\varphi ,\psi )=0,$

et qui ne rendra pas les fonctions $\varphi$ et $\psi$ constantes, ne pourra pas être comprise dans l’équation primitive générale, et sera par conséquent une valeur singulière.

Soit

$y=\Sigma (x)$

cette valeur singulière, $\Sigma (x)$ étant une fonction donnée de $x\,;$ en substituant $\Sigma (x)$ et $\Sigma '(x)$ au lieu de $y$ et $y'$ dans les fonctions et, elles deviendront de simples fonctions de $x\,;$ et, éliminant $x$ entre elles, on aura une équation $\varphi$ et $\psi ,$ qu’on prendra pour l’équation

$\Phi (\varphi ,\psi )=0\,;$