Donc, si l’on tire des deux premières les valeurs de
et
en fonctions de
et qu’on désigne ces valeurs par
![{\displaystyle \varphi (x,y,y')\quad {\text{et}}\quad \psi (x,y,y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97a863a34a49a289513e4eaa6c4736170c2d7ff)
on aura l’équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de
et
dans l’équation de condition
![{\displaystyle \Phi (a,b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8421ac1300c52a838754cd74cd86dec523b3777)
Ainsi, en mettant simplement
et
pour les fonctions dont il s’agit, l’équation dérivée sera
![{\displaystyle \Phi (\varphi ,\psi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5067010daf4d01ffc1386821c693118324f571c4)
Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5ce52f0c77745f80310332571847c7050f879e)
les deux constantes
et
étant liées par l’équation
![{\displaystyle \Phi (a,b)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0aa0ee277fe87391ffb7caba6ae1ca1085e06a)
et l’on aura en même temps les deux équations
![{\displaystyle \varphi (x,y,y')=a,\quad \psi (x,y,y')=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266d6fa93806e7e2ca8c2814df3386f8ea810459)
Donc toute valeur de
en
qui satisfera à la même équation
![{\displaystyle \Phi (\varphi ,\psi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94fbf9180b28e59669aa667491a8396486485df)
et qui ne rendra pas les fonctions
et
constantes, ne pourra pas être comprise dans l’équation primitive générale, et sera par conséquent une valeur singulière.
Soit
![{\displaystyle y=\Sigma (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab96d0add6822725783e3e081fb37e54270753a1)
cette valeur singulière,
étant une fonction donnée de
en substituant
et
au lieu de
et
dans les fonctions et, elles deviendront de simples fonctions de
et, éliminant
entre elles, on aura une équation
et
qu’on prendra pour l’équation
![{\displaystyle \Phi (\varphi ,\psi )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd6614c979276056edd534cc7e94a30feac3eea)