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l’équation supposée

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0$

sera l’équation primitive en $x$ et $y,$ en supposant l’équation

$a^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(b^{2}-2ac\right)=0\,;$

de sorte que, comme cette équation donne

$c={\frac {a^{2}+\mathrm {A} ^{2}b^{2}}{2\mathrm {A} ^{2}a}},$

on aura

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-{\frac {a^{2}+\mathrm {A} ^{2}b^{2}}{2\mathrm {A} ^{2}a}}=0,$

$a$ et $b$ étant les deux constantes arbitraires.

Les équations de la forme

$\Phi (a,b,c,\ldots )=0,$

que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités $a,b,c,\ldots$ sont les valeurs en $x,y,y',\ldots$ des constantes $a,b,c,\ldots ,$ tirées d’une équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )=0$

et de ses dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,\quad \ldots ,$

constituent une classe remarquable d’équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.

Pour le démontrer, soit d’abord

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

une équation quelconque en $x,y$ et deux constantes $a$ et $b.$

En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s’agit sera la primitive d’une équation du second ordre en $x,y,y'$ et $y'',$ qui résultera de l’élimination de $a$ et $b$ au moyen des deux équa-