l’équation supposée
![{\displaystyle y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9b7a337f5f95d24e3bd60f28bac0ee28ec2011)
sera l’équation primitive en
et
en supposant l’équation
![{\displaystyle a^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(b^{2}-2ac\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6776191115510158cf458b7c8e87b2d20607c991)
de sorte que, comme cette équation donne
![{\displaystyle c={\frac {a^{2}+\mathrm {A} ^{2}b^{2}}{2\mathrm {A} ^{2}a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395bbb501285d6daa0fa7c23b88b1255fdd5200c)
on aura
![{\displaystyle y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-{\frac {a^{2}+\mathrm {A} ^{2}b^{2}}{2\mathrm {A} ^{2}a}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261c65ff18c121e56b2f78dc515c093db1b1cebc)
et
étant les deux constantes arbitraires.
Les équations de la forme
![{\displaystyle \Phi (a,b,c,\ldots )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b62d2c0a31e1423d4312fa73e22da421859479)
que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités
sont les valeurs en
des constantes
tirées d’une équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b263abbb0d97f4d0cde564c25ca28666b45dd27e)
et de ses dérivées
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14847b702eb3be9a4961e80da6ebb8d0ad43f0c2)
constituent une classe remarquable d’équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.
Pour le démontrer, soit d’abord
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aecdbd06bc6d4889921d552fc8fd9d58e395089)
une équation quelconque en
et deux constantes
et ![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s’agit sera la primitive d’une équation du second ordre en
et
qui résultera de l’élimination de
et
au moyen des deux équa-