sera l’équation primitive singulière, et l’équation en
en sera l’équation primitive en
et
en supposant entre les trois constantes
la relation donnée par l’équation
![{\displaystyle \Phi (a,b,c)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab52d7418492d690ba53fd47f6836a0d8d50708)
Si l’équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en
et
et quatre constantes
et ainsi de suite.
Supposons que l’équation primitive singulière soit
![{\displaystyle y'=\mathrm {A} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9effe3feff2a5d0f72a26392c5a1bb077d3d0f)
et prenons l’équation
![{\displaystyle y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5307c0bc024717b1e06a823d93ab0d351e1d93ce)
d’où l’on tire les deux dérivées, prime et seconde,
![{\displaystyle y'-ax-b=0,\quad y''-a=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1df3c73b9a26d66c13eb9a886fba787ef59290)
ces trois équations donnent
![{\displaystyle a=y'',\quad b=y'-xy'',\quad c=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}-y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bb297e8397fdf31a6b9ce03ef196a1749f5314)
Mais la proposée donne
![{\displaystyle y'=\mathrm {A} y,\quad y''=\mathrm {A} y'=\mathrm {A} ^{2}y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2282030f6a8ac61a6b56d4c4fc08274160083c13)
donc, substituant ces valeurs, on aura
![{\displaystyle a=\mathrm {A} ^{2}y,\quad b=\mathrm {A} y(1-\mathrm {A} x),\quad c=y\left(1-\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}x^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84a1e59d00eeba14a18c03d0d9753d37fef06aa)
Éliminant
et
on trouve l’équation
![{\displaystyle a^{2}+\mathrm {A} ^{2}\left(b^{2}-2ac\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5e1572ab90c5623c93ce75c69e6ff46dc8967f)
dans laquelle, en substituant les premières valeurs de
il vient l’équation du second ordre
![{\displaystyle y'^{2}-2\mathrm {A} ^{2}yy''+\mathrm {A} ^{2}y'^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed41046b486ba23ca369abdebb98f84048af9cd)
dont la proposée
sera l’équation primitive singulière, et