par conséquent, si l’on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées
c’est-à-dire de
et
et, regardant maintenant
et
comme fonctions de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\b'=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d6ca38f4e41fad89791fb1a5efa07b48fe6581)
Cela posé, soit
une équation du premier ordre ; sa dérivée sera
![{\displaystyle a''\Phi '(a)+b'\Phi '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da82c33b982ee55425c1894091573ce0ee32d91d)
et, par la substitution des valeurs de
qu’on vient de trouver, elle deviendra
![{\displaystyle \left[\varphi '(y)\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)\right]\left[y''+f(x,y,y')\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7a70f431c9894caa33898fe9e1314466221889)
Cette équation a, comme l’on voit, deux facteurs, l’un qui n’est que du premier ordre, comme l’équation proposée ; l’autre qui contient
et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.
Celui-ci donne l’équation
![{\displaystyle y''+f(x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e0c4a61e22e94c4d322987e1a83c9f07423744)
de laquelle résultent
![{\displaystyle a'=0,\quad b'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2be2481da1c3d5fd60aabf2a003e5663c744c0a)
par les formules trouvées plus liaut, de sorte que les fonctions
et
seront constantes.
Prenant donc
et
pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre
![{\displaystyle \varphi (x,y,y')=a,\quad \psi (x,y,y')=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bc8a60c39fc9ac748c4a662a94b8b2b4dce4c4)
d’où, éliminant la fonction dérivée
on aura une équation en
et
qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5ce52f0c77745f80310332571847c7050f879e)
d’où l’on avait déduit les fonctions
et ![{\displaystyle \psi (x,y,y').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cc86d346d9fba56618f7e19ed952ba4f67a9d3)