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par conséquent, si l’on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées $\varphi '(x,y,y'),\ \psi '(x,y,y'),$ c’est-à-dire de $a'$ et $b',$ et, regardant maintenant $a$ et $b$ comme fonctions de $x,y,y',$ on aura

${\begin{aligned}a'=&\varphi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right],\\b'=&\psi '(y')\left[y''+f(x,y,y')\right].\end{aligned}}$

Cela posé, soit $\Phi (a,b)=0$ une équation du premier ordre ; sa dérivée sera

$a''\Phi '(a)+b'\Phi '(b)=0,$

et, par la substitution des valeurs de $a',b'$ qu’on vient de trouver, elle deviendra

$\left[\varphi '(y)\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)\right]\left[y''+f(x,y,y')\right]=0.$

Cette équation a, comme l’on voit, deux facteurs, l’un qui n’est que du premier ordre, comme l’équation proposée ; l’autre qui contient $y'',$ et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.

Celui-ci donne l’équation

$y''+f(x,y,y')=0,$

de laquelle résultent

$a'=0,\quad b'=0,$

par les formules trouvées plus liaut, de sorte que les fonctions $a$ et $b$ seront constantes.

Prenant donc $a$ et $b$ pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre

$\varphi (x,y,y')=a,\quad \psi (x,y,y')=b,$

d’où, éliminant la fonction dérivée $y',$ on aura une équation en $x,y,a$ et $b,$ qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

d’où l’on avait déduit les fonctions $\varphi (x,y,y')$ et $\psi (x,y,y').$