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Mais il faudra que les constantes $a$ et $b$ de cette équation satisfassent à la condition

$\Phi (a,b)=0$

donnée par l’équation proposée ; ce qui les réduira a une seule, qui sera par conséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.

Le facteur du premier ordre

$\varphi '(y')\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)$

donnera, de son côté, l’équation en $x,y$ et $y',$

$\varphi '(y')\Phi '(a)+\psi '(y')\Phi '(b)=0,$

en supposant qu’on y mette pour $a$ et $b$ leurs valeurs $\varphi (x,y,x')$ et $\psi (x,y,y')\,;$ et cette équation, d’après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant $y'$ par le moyen de ces deux équations.

Or il est facile de voir que, si l’on représente par

$\Psi (x,y,y')=0$

la fonction donnée $\Phi (a,b),$ dans laquelle

$a=\varphi (x,y,y')$

et

$b=\psi (x,y,y'),$

le facteur dont il s’agit se réduira simplement à $\Psi '(y),$ puisque les expressions $\varphi '(y')$ et $\psi '(y')$ ne sont que les fonctions dérivées de $a$ et $b,$ prises par rapport à $y'$ seule.

Ainsi on aura la primitive singulière de l’équation

$\Psi (x,y,y')=0,$

dans le cas où elle est réductible à la forme

$\Phi (a,b)=0,$