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de sa dérivée relative à $y'',$ savoir,

${\frac {x^{2}}{2}}+2x(y'-xy'')-2y''=0\,;$

ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé.

Lorsqu’on connaît l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,\ldots )=0,$

avec l’équation

$\Phi (a,b,\ldots )=0,$

qui donne la relation entre les quantités $a,b,c,\ldots ,$ on peut trouver directement l’équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de $x,y,y',\ldots \,;$ car, ayant réduit les quantités $a,b,\ldots$ à une de moins par le moyen de l’équation de condition

$\Phi (a,b,\ldots )=0,$

il n’y aura qu’à appliquer à l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b,\ldots )=0$

la méthode générale exposée dans la Leçon quinzième.

Mais la difficulté consiste à reconnaître a posteriori si des fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d’une même équation primitive, de manière qu’elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.

Pour la résoudre, j’observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions est que leurs dérivées ont entre elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s’agit. En effet, relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions $\varphi (x,y,y')$ et $\psi (x,y,y'),$ qui représentent les valeurs des constantes $a$ et $b$ tirées de l’équation générale

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$