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Si maintenant on prend, pour l’équation $\Phi (a,b)=0,$ celle-ci, $b=$ à une constante, on aura l’équation du premier ordre

$x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}-b=0,$

où $b$ est une constante quelconque.

Ainsi on aura tout de suite sa primitive singulière, en éliminant $y'$ au moyen de l’équation dérivée prise relativement à $y',$ laquelle sera

${\frac {2xy}{y'^{2}}}+{\frac {2x^{2}}{y'^{3}}}=0,$

d’où l’on tire

$y'=-{\frac {x}{y}}\,;$

en substituant cette valeur de $y',$ on a

$x^{2}+y^{2}-b=0,$

comme on l’a déjà trouvé par d’autres voies.

Prenons encore l’équation

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-c=0\,;$

on aura les deux dérivées

$y'-ax-b=0,\quad y''-a=0,$

d’où l’on tire

$a=y'',\quad b=y'-xy'',\quad c=y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''.$

Soit, par exemple,

$\Phi (a,b,c)s=c-b^{2}-a^{2}\,;$

on aura l’équation du second ordre

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0,$

dont la primitive singulière résultera de l’élimination de $y'',$ au moyen