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Or, comme $\varphi$ et $\psi$ ne contiennent que $x,y$ et $y',$ il est visible que la valeur de ${\frac {\varphi '}{\psi '}}$ ne sera qu’une fonction du premier ordre.

Ainsi, dans le dernier exemple, où

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2},$

si l’on change $a$ en $\varphi ,$ et $b$ en $\psi ,$ on aura

$\operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi )=y^{2}+x^{2}-2x\varphi +\varphi ^{2}-\psi ^{2}\,;$

donc

$\operatorname {F} '(\varphi )=2(\varphi -x),\quad \operatorname {F} '(\psi )=-2\psi \,;$

par conséquent

${\frac {\varphi '}{\psi '}}={\frac {\psi }{\varphi -x}},$

comme nous l’avons trouvé par une autre voie.

De même, si $\varphi ,\psi ,\xi$ sont les fonctions de $x,y,y'$ et $y''$ qui expriment les valeurs des constantes $a,b,c,$ tirées de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

et de ses deux dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,$

en substituant ces fonctions à la place de $a,b,c,$ on aura des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi.

On aura donc, en premier lieu,

$\operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi ,\xi )=0,$

et, par conséquent aussi,

$\operatorname {F} '(x,y)+\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )+\xi '\operatorname {F} '(\xi )=0\,;$

mais on a déjà

$\operatorname {F} '(x,y)=0\,;$

donc on aura l’équation

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )+\xi '\operatorname {F} '(\xi )=0.$