Or, comme
et
ne contiennent que
et
il est visible que la valeur de
ne sera qu’une fonction du premier ordre.
Ainsi, dans le dernier exemple, où
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b)=y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a258d1245a5613b0cc8dd4ee3704fedd88edf64f)
si l’on change
en
et
en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi )=y^{2}+x^{2}-2x\varphi +\varphi ^{2}-\psi ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7692c6288e89bafc3e143898d9a0b52de8cfb626)
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} '(\varphi )=2(\varphi -x),\quad \operatorname {F} '(\psi )=-2\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7147fd575bce0755fabc74da455312e35bccb1e)
par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\varphi '}{\psi '}}={\frac {\psi }{\varphi -x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b93d03c4682705fd2949b8c9db0296f0fa6fa)
comme nous l’avons trouvé par une autre voie.
De même, si
sont les fonctions de
et
qui expriment les valeurs des constantes
tirées de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20b3d27ad28c3a0ed031005bfa3ec41ee276dec)
et de ses deux dérivées
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9332d7b7b9900b5265b8f3e963ffbc2cd83d73)
en substituant ces fonctions à la place de
on aura des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi.
On aura donc, en premier lieu,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,\varphi ,\psi ,\xi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5ef27d5633fa461447977666412e7d82ac2c6e)
et, par conséquent aussi,
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)+\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )+\xi '\operatorname {F} '(\xi )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd56a2bfd94b766b4b8a1689baca3cf514ef5f9)
mais on a déjà
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ad650195626d3f988a05830e8bf918c499d62)
donc on aura l’équation
![{\displaystyle \varphi '\operatorname {F} '(\varphi )+\psi '\operatorname {F} '(\psi )+\xi '\operatorname {F} '(\xi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc12e04aa9ecf4c99519e9162c7f314b24b87f29)