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Ensuite, comme l’équation

$\operatorname {F} (x,y)=0$

contient, outre les quantités $x,y,y',$ les trois fonctions $\varphi ,\psi ,\xi ,$ si on la dénote par $f(x,y,y',\varphi ,\psi ,\xi ),$ on aura l’équation identique

$f(x,y,y',\varphi ,\psi ,\xi )=0,$

et, par conséquent, la dérivée

$f'(x,y,y')+\varphi 'f'(\varphi )+\psi 'f'(\psi )+\xi 'f'(\xi )=0\,;$

mais on a déjà

$f'(x,y,y')=0,$

puisqu’il est visible que $f'(x,y,y')$ est la même chose que $\operatorname {F} ''(x,y)\,;$ donc on aura aussi l’équation

$\varphi 'f'(\varphi )+\psi 'f'(\psi )+\xi 'f'(\xi )=0.$

Si l’on combine cette équation avec la précédente, il est clair que, puisque les quantités $\varphi ',\psi ',\xi '$ n’y sont qu’à la première dimension, et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu’on en tirera les valeurs de ${\frac {\varphi '}{\psi '}}$ et de ${\frac {\varphi '}{\xi '}}$ en fonctions des quantités $x,y,y',\varphi ,\psi$ et $\xi \,;$ de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de suite.

Si les fonctions $\varphi$ et $\psi$ exprimaient les valeurs des constantes $a$ et $b$ tirées de l’équation du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,y',a,b)=0$

et de sa dérivée

$\operatorname {F} '(x,y,y')=0,$

ces fonctions seraient alors du second ordre ; et l’on trouverait, par le même raisonnement, que le rapport ${\frac {\varphi '}{\psi '}}$ de leurs dérivées serait exprimé également par $-{\frac {\operatorname {F} '(\psi )}{\operatorname {F} '(\varphi )}},$ de sorte que ce rapport serait une fonction du second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions $\varphi$ et $\psi .$