Ensuite, comme l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd9a9049eea70f09dd4c2d700b387bcd4a74592)
contient, outre les quantités
les trois fonctions
si on la dénote par
on aura l’équation identique
![{\displaystyle f(x,y,y',\varphi ,\psi ,\xi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce5e0a7fa718b14fe61ff2f828f57efc59a19fd)
et, par conséquent, la dérivée
![{\displaystyle f'(x,y,y')+\varphi 'f'(\varphi )+\psi 'f'(\psi )+\xi 'f'(\xi )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04841bd5d8b7ee826a418b9015a29cd8b4715754)
mais on a déjà
![{\displaystyle f'(x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82e39631ccd7aa43a19d62f6cd87559430a3a8d)
puisqu’il est visible que
est la même chose que
donc on aura aussi l’équation
![{\displaystyle \varphi 'f'(\varphi )+\psi 'f'(\psi )+\xi 'f'(\xi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200b108bdf0f073b457d1c771a19aeba8bc7bf7e)
Si l’on combine cette équation avec la précédente, il est clair que, puisque les quantités
n’y sont qu’à la première dimension, et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu’on en tirera les valeurs de
et de
en fonctions des quantités
et
de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de suite.
Si les fonctions
et
exprimaient les valeurs des constantes
et
tirées de l’équation du premier ordre
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab965dd9141eff15820f3e2ac21b3492a8b92b32)
et de sa dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,y')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9624a27194da3937db31c6e797af551d11fc8147)
ces fonctions seraient alors du second ordre ; et l’on trouverait, par le même raisonnement, que le rapport
de leurs dérivées serait exprimé également par
de sorte que ce rapport serait une fonction du second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions
et ![{\displaystyle \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c)