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dantes de $m,$ dont la valeur doit se déterminer par la considération de quelques cas particuliers.

Pour cela, on fera d’abord $m=0,$ et l’on aura

$1=1+b\omega +\ldots ,$

donc $b=0.$ On fera ensuite $m=1,$ et l’on aura

$1+\omega =1+a\omega +\ldots \,;$

donc $a=1.$

D’où l’on conclura enfin

$(1+\omega )^{m}=1+m\omega +\ldots .$

Donc, puisque

$(x+i)^{m}=x^{m}(1+\omega )^{m},$

$\omega$ étant $={\frac {i}{x}},$ on aura

$\mathrm {A} (x+i)^{m}=\mathrm {A} x^{m}+\mathrm {A} mx^{m-1}i+\ldots ,$

quel que soit le nombre $m,$ de sorte que la fonction dérivée de $\mathrm {A} x^{m}$ sera de $\mathrm {A} mx^{m-1},$ comme nous l’avons trouvée d’abord pour le cas de $m$ rationnel.

La démonstration précédente ne laisse rien à désirer pour la rigueur et la généralité. Elle ne dépend que des fonctions dérivées de la forme la plus simple, et fournit, dès le commencement, un exemple remarquable de leur usage dans l’Analyse.

On peut donc établir pour règle générale que la fonction dérivée d’une puissance quelconque d’une variable est égale à la puissance d’un degré moindre d’une unité de la même variable, multipliée par l’exposant de la puissance donnée.

De là et de la loi du développement des fonctions résulte une démonstration aussi simple que générale, et peut-être la seule rigoureuse qu’on ait encore donnée de la formule du binôme pour un exposant quelconque.

En effet, puisqu’on vient de trouver que

$\operatorname {F} (x)=\mathrm {A} x^{m},$