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On aura donc

$\operatorname {F} '(m)=a,$

$a$ étant une constante ; et cette valeur de $\operatorname {F} '(m)$ satisfera aux autres conditions, puisqu’on aura

$\operatorname {F} ''(m)=0,\quad \operatorname {F} '''(m)=0,\quad \ldots ,$

et de même

$\operatorname {F} ''(n)=0,\quad \operatorname {F} '''(n)=0,\quad \ldots .$

Tout se réduit donc à trouver la valeur de la fonction primitive $\operatorname {F} (m),$ d’après la fonction dérivée

$\operatorname {F} '(m)=a.$

Or il est facile de voir que $\operatorname {F} (m)$ ne peut être que de la forme $am+b,$ $b$ étant une constante arbitraire ; car on peut se convaincre qu’il n’y a que cette expression qui puisse donner $a$ pour sa fonction dérivée.

On peut d’ailleurs le démontrer directement comme il suit puisqu’on a en général

$\operatorname {F} (m+i)=\operatorname {F} (m)+i\operatorname {F} '(m)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(m)+\ldots ,$

on aura, dans le cas présent,

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(m)=a,\quad \operatorname {F} ''(m)=&0,\quad \operatorname {F} '''(m)=0,\quad \ldots ,\\\operatorname {F} (m+i)=&\operatorname {F} (m)+ai,\end{aligned}}$

et, comme $i$ peut être une quantité quelconque, si l’on fait $i=-m,$ alors la quantité $m+i$ deviendra zéro ; donc la valeur de $\operatorname {F} (m+i)$ sera indépendante de $m\,;$ elle sera par conséquent égale à une constante $b.$ On aura ainsi

$b=\operatorname {F} (m)-am,$

d’où

$\operatorname {F} (m)=am+b.$

Substituant cette valeur de $\operatorname {F} (m),$ on aura en général

$(1+\omega )^{m}=1+(am+b)\omega +\ldots ,$

quelle que soit la valeur de $m,a$ et $b$ étant des constantes indépen-