Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/264

par $dx^{2}+dy^{2},$ devient

$[ydx-xdx+pdy)(ydx-xdy+qdy)-k\left(dx^{2}+dy^{2}\right)=0;$

c’est l’équation donnée par les conditions du problème.

Euler remarque qu’il serait diflicile d’intégrer cette équation directement, mais qu’on y peut parvenir facilement en la différentiant.

On a ainsi, en prenant $dx$ pour constant,

$(ydx-xdy+qdy)(p-x)d^{2}y+(ydx-xdy+pdy)(q-x)d^{2}y-2kdyd^{2}y=0,$

équation toute divisible par $d^{2}y.$

En la divisant d’abord par $d^{2}y,$ on a celle-ci :

$(ydx-xdy+qdy)(p-x)+(ydx-xdy+pdy)(q-x)-2kdy=0,$

qui n’est que du premier ordre, comme la proposée, et qui, étant combinée avec elle, donnera, par l’élimination de $dy,$ une équation finie en $x$ et $y.$

En effet, cette dernière équation étant multipliée par $dy$ et retranchée de la première multipliée par $2,$ on aura celle-ci :

$2y^{2}dx^{2}+ydydx(p+q-2x)-2kdx^{2}=0,$

d’où l’on tire

${\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(k-y^{2}\right)}{y(p+q-2x)}};$

mais la même équation donne

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y(p+q-2x)}{2\left[k-(p-x)(q-x)\right]}};$

donc, comparant ces deux valeurs et multipliant en croix, on aura celle-ci :

$y^{2}(p+q-2x)^{2}=4\left(k-y^{2}\right)\left[k-(p-x)(q-x)\right],$

laquelle se réduit à

$\left[(p-q)^{2}+4k\right]y^{2}+4k(p-x)(q-x)=4k^{2},$